随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,如图①所示
题目
随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y
1与投资量x成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y
2与投资量x成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资量的单位:万元)
(1)分别求出利润y
1与y
2关于投资量x的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润,他能获取的最大利润是多少?
答案
(1)设y1=kx,由图①所示,函数y1=kx的图象过(1,2),所以2=k•1,k=2,故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x(x≥0);∵该抛物线的顶点是原点,∴设y2=ax2,由图②所示,函数y2=ax2的图象过(2,2),∴2=a...
(1)可根据图象利用待定系数法求解函数解析式;
(2)根据总利润=树木利润+花卉利润,列出函数关系式,再求函数的最值.
二次函数的应用;一次函数的应用.
本题第(1)个问题是已知一次函数和二次函数的图象,求函数的解析式,观察两个函数的图象可知,前者是正比例函数,后者是二次函数,顶点是(0,0),利用待定系数法,先设两个函数的解析式,再将P(1,2),Q(2,2)代入相应的解析式求出参数即可;第(2)个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值,属于二次函数的条件最值问题.这类试题一般先将函数解析式配方,将函数解析式变成顶点形式,找出顶点坐标和对称轴方程,结合自变量的取值范围,画出函数图象(抛物线的一部分),根据抛物线的对称性、开口方向,确定函数的最大(或最小)值,不宜直接用最值公式,这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想,它的优点是直观形象,避免死记公式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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