成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b2,b4,b5

题目

成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b2,b4,b5
（1）求数列｛bn}的通项公式；（2）数列｛bn}的前n项和为Sn,求证：数列｛Sn+5/4}是等比数列（要有过程）

答案

（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d
a-d+a+a+d=15,a=5
所以{bn}中的依次为7-d,10,18+d
有（7-d）（18+d）=100,d=2或d=-13（舍去）
故{bn}的第3项为5,公比为2
由b3=b1•22,即5=4b1,b1=5/4
所以{bn}是以5/4首项,2为公比的等比数列,通项公式为bn=5*2^(n-1)/4
（2）数列{bn}的前和Sn =(5/4)*(1-2^n)/(1-2)=5*2^n/4-5/4
Sn+5/4=5*2^(n-2),所以S1+5/4=5/2,
[(Sn+1)+5/4]]/ [Sn+5/4]]=[5*2^(n-1)]/[ 5*2^(n-2)]=2
因此{Sn +5/4}是以5/2为首项,公比为2的等比数列