设w为线性空间v的一个子空间,证明w的正交补w^⊥是v的一个子空间

题目

设w为线性空间v的一个子空间,证明w的正交补w^⊥是v的一个子空间

答案

设α,β∈W^⊥
则任意γ∈W,
(α,γ)=0=(β,γ)
故(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)=0+0=0
故α+β⊥γ=>α+β∈W^⊥
且(kα,γ)=k(α,γ)=0
故kα⊥γ=>kα∈W^⊥
故W^⊥为V的一个子空间