已知直角三角形ABC中角B为90度,AB=BC,D为三角形内一点,且AB=AD,求证BD=CD

题目

已知直角三角形ABC中角B为90度,AB=BC,D为三角形内一点,且AB=AD,求证BD=CD
角BAD为30度

答案

设AB=BC=a.延长AD交BC于F,作DG⊥BC.则DG‖AB,又∠BAD=30°,所以∠GDF=30°,GF=1/2DF.
∠BAD=30°,BF=1/2AF,AF=2BF.
AF²=AB²+BF²,(2BF)²=a²+BF²,BF=√3a/3,AF=2√3a/3,
CF=BC-BF=a-√3a/3,
DF=AF-AD=AF-AB=2√3a/3-a,GF=1/2DF=√3a/3-a/2,
GF+CF=√3a/3-a/2+a-√3a/3=a/2,所以GC=a/2,所以BG=a-a/2=a/2.
BG=GC,又DG⊥BC,∠BGD=∠CGD=RT∠,DG为公共边,所以△BGD≌△CGD,
所以BD=CD.