在直角等腰三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使角MCN＝45°,

题目

在直角等腰三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使角MCN＝45°,
记AM＝m,MN=x,BN=n,判断以x,m,n为边长的三角形的形状

答案

是直角三角形.
将△CNB绕点C旋转90°到△CN'A(A点旋转到B,N点旋转到N')
则△CNB≌△CN'A,
∴AN'=BN=n,N'C=NC,∠B=∠CAN'=45°,∠ACB=∠BCN,
∴∠N'AB=∠CAN'+∠CAB=∠B+∠CAB=90°,
∴△AN'M是直角三角形,
∵∠MCN=45°,
∴∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°,
∴∠N'CM=45°=∠MCN,
∴△MN'C≌△MNC,
∴MN'=MN=x,
∴△AMN'的三边长分别为m,n,x,且N'AM是直角,
∴以x,m,n为边长的三角形是直角三角形.