设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x−3x−2≤0， （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围

题目

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足

x−3

x−2

≤0，
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

答案

（1）若a=1，解x²-4x+3＜0得：1＜x＜3，解

x−3

x−2

≤0得：2＜x≤3；
∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；
∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足

1＜x＜3 2＜x≤3

，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；
（2）￢q为：实数x满足x＜2，或x＞3；￢p为：实数x满足x²-4ax+3a²≥0，并解x²-4ax+3a²≥0得x≤a，或x≥3a；
￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a＜2，且3a＞3，解得1＜a＜2；
∴a的取值范围为：（1，2）．

（1）由a=1得到命题p下的不等式，并解出该不等式，解出命题q下的不等式，根据p∧q为真，得到p真q真，从而求出x的取值范围；
（2）先求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．

考点点评：考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情况，充分不必要条件的概念．