求cosa+sina*0.5的最小值（a大于等于0°,小于等于90°,要过程!)

题目

求cosa+sina*0.5的最小值（a大于等于0°,小于等于90°,要过程!)
如题
是0.5sinα

答案

可以知道函数f(α)=cosα＋0.5sinα在[0,90°]区间内有最大值,则该函数取最大值时,α的取值左边和右边都是递减的,最小值必然在端点处.
①在[0,90°]区间内有最大值：
对此函数进行求导,得f'(α)=0.5cosα-sinα,当函数的导数（这是高三数学的内容）等于0时,这个函数在该区间有最大值,则：
f'(α)=0.5cosα－sinα=0
又因为cos²α＋sin²α=1
解得α≈26.57°.
当α＝26.57°时,该函数在该区间有最大值
②在该区间的最小值：
方法(1)：
在26.57°到90°之间和0到26.57°之间这个函数的值是递减的,显然26.57°到90°递减幅度更大,一直到90°时该函数的值最小,此时的值为0.5,所以原来函数在该区间内的最小值为0.5.
方法(2)：由以上分析知,在区间端点处具有最小值,当α＝0时,函数值为1,当α＝90°时,函数值为0.5,可知当α＝90°时具有最小值0.5
方法(3)：设f(α)=cosα＋0.5sinα＝ksin(α＋β),其中k和β是常数
则f(α)=cosα＋0.5sinα＝ksin(α＋β)＝k(sinαcosβ＋sinβcosα)=ksinβcosα＋kcosβsinα,于是：
ksinβ＝1,kcosβ=0.5,cos²β＋sin²β=1,可解得β＝arcsin(0.4√5)≈63.43°,故原来函数可化为ksin(α＋β)的形式,是由sinα图像经过平移和增减曲率得到的,与sinα图像增减趋势相同,于是最小值必在闭区间[0,90°]端点上,当α＝0时,函数值为1,当α＝90°时,函数值为0.5,可知当α＝90°时具有最小值0.5.