如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是∠A的平分线,CD⊥AB于D,交AE于F点,FM‖AB (1)求证：AE:AF=AB:AC(2)求证：

题目

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是∠A的平分线,CD⊥AB于D,交AE于F点,FM‖AB (1)求证：AE:AF=AB:AC(2)求证：
（2）求证：AB:AC=EB:EC(3)求证：CE=MB

答案

(1)
过F作BC平行线交AB于G,AC于H
则GH垂直于AC,角CFH=角DFG
AF为角A平分线,则 FH=FD
角CHF=角GDF=90
所以 三角形CHF全等于 三角形 GDF
所以 CF=GF
在三角形ACF和AGF中,
CF=CF,AF=AF,角CAF=角GAF
所以 三角形ACF全等于AGF
所以 AC=AG
在三角形ABE中,FG平行于BE
所以 AE:AF=AB:AG
因为 AC=AG
所以 AE:AF=AB:AC
得证.
（2）
过E点作EJ垂直于AB
在三角形 EBJ和ABC中,
角B=角B,角EJB=角ACB=90,
所以 三角形 EBJ相似于ABC
所以 EB:EJ=AB:AC
在三角形ACE和AJE中,
角CAE=角JAE,角ACE=角AJE=90,AE=AE
所以 三角形 ACE全等于 AJE
所以 EC=EJ
所以 EB:EC=EB:EJ=AB:AC
得证.