已知方程x^2+kx-3=0与x^2-4x-(k-1)=0仅有一根相等,求k的值及这个相同的根

题目

已知方程x^2+kx-3=0与x^2-4x-(k-1)=0仅有一根相等,求k的值及这个相同的根

答案

由题意易知,设方程x^2+kx-3=0与x^2-4x-(k-1)=0相等的根为a
则a²+ka-3=0且a²-4a-(k-1)=0
所以a²+ka-3=a²-4a-(k-1)
(k+4)a=4-k
a=(4-k)/(4+k)
代入方程a²+ka-3=0有：
(4-k)²/(4+k)² +k(4-k)/(4+k)-3=0
(4-k)²+k(16-k²)-3(4+k)²=0
化简整理得：
k^3 +2k²+16k+32=0
即(k²+16)(k+2)=0
解得k=-2
所以方程为x²-2x-3=0与x²－4x+3=0
易知这个相同的根为x=3