若函数y=x^2-4px-2的图像过点A(tanα,1)及B(tanβ,1),求sin2(α+β)的值

题目

若函数y=x^2-4px-2的图像过点A(tanα,1)及B(tanβ,1),求sin2(α+β)的值
2p/(1+p^2)

答案

∵y=x^2-4px-2的图像过点A(tanα,1)及B(tanβ,1),
∴tanα,tanβ是方程x^2-4px-2=1即x^2-4px-3=0的两个根
由韦达定理得：
tanα+tanβ=4p,tanαtanβ=-3
∴tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=4p/[1-(-3)]=p
sin(α+β)/cos(α+β)=p,==> sin(α+β)=pcos(α+β)
代入sin²(α+β)+cos²(α+β)=1得：
（p²+1)cos²(α+β)=1
∴ cos²(α+β)=1/(p²+1)
∴sin2(α+β)=2sin(α+β)cos(α+β)
=2pcos²(α+β)=2p/(p²+1)