若矩阵A是正规阵,证明：A的二范数 等于 A的谱半径.

题目

若矩阵A是正规阵,证明：A的二范数 等于 A的谱半径.

答案

这个比较简单,给出两种证明过程：
命题：A是正规阵,必然存在酉阵Q满足：Q' * A * Q = D,D为对角阵且每个对角元为A的特征值.
1.A的二范数 A的最大奇异值 max(sqrt(eig(A' * A))) max(sqrt(eig(D' * D))) D的模最大对角元 A的谱半径,证毕!
2.记D = diag{λ1,λ2,...,λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ ...≥ |λn|,则|λ1|为A的谱半径.
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1,必然有：||A*x1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量,即：||y1||₂= 1且||A||₂= ||A*y1||₂.y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1,且z1也为单位向量.不难得出：||A||₂= ||A*y1||₂= ||A*Q*z1||₂= ||D*z1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得：||A||₂= |λ1|,证毕!