(1+√2)^n=xn+yn√2,其中xn,yn为整数,求n趋于∞时,xn/yn的极限

题目

(1+√2)^n=xn+yn√2,其中xn,yn为整数,求n趋于∞时,xn/yn的极限

答案

考虑佩尔方程u^2-2v^2 = 1的整数解
基础解为u=3,v=2
所以该方程的全部解可以由un + vn√2 = (3+2√2)^n = (1+√2)^(2n)
显然当n趋于∞时的时候,这个方程给出的un/vn的极限显然与
(1+√2)^n=xn+yn√2给出的xn/yn极限相同,
而当n趋于∞时,取u^2-2v^2 = 1的渐进方程u^2-2v^2 = 0
得u / v = √2
所以lim(xn/yn) = √2