已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n成立 (1)证明:数列{an+3}是等比数列; (2)求出数列{an}的通项公式.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n成立 (1)证明:数列{an+3}是等比数列; (2)求出数列{an}的通项公式.
题目
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
=
1
2
答案
(1)∵数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
=
1
2
(3n+S
n
)对一切正整数n成立
∴S
n
=2a
n
-3n,S
n+1
=2a
n+1
-3(n+1),
两式相减得:a
n+1
=2a
n
+3,
∴a
n+1
+3=2(a
n
+3),
∴
a
n+1
+3
a
n
+3
=2,
∴数列{a
n
+3}是等比数列.
(2)∵
a
n+1
+3
a
n
+3
=2,a
n
=
1
2
(3n+S
n
),
∴
a
1
=
1
2
(3+
a
1
)
,解得a
1
=3,
∴a
1
+3=6,
∴数列{a
n
+3}是首项为6,公比为2的等比数列,
∴数列a
n
+3=6•2
n-1
,
故a
n
=3(2
n
-1).
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