已知f(1)=lg(1/a),f(n-1)=f(n)-lga^（n-1）,是否存在实数α,β使f(n)=(αn²+βn-1)lga对任何n∈N*都

题目

已知f(1)=lg(1/a),f(n-1)=f(n)-lga^（n-1）,是否存在实数α,β使f(n)=(αn²+βn-1)lga对任何n∈N*都
证明你的结论

答案

由f(n-1)=f(n)-lga^（n-1）,得f(n)-f(n-1)=(n-1)lga将n=2,3,…,代入f(2)-f(1)=lgaf(3)-f(2)=2lga……f(n)-f(n-1)=(n-1)lga相加,得f(n)-f(1)=[1+2+…+(n-1)]lgaf(n)=[n(n-1)/2]lga+f(1)又f(1)=-lga所以 f(n)=[n(n-1)/...