在圆柱坐标系中,证明：平面z=sinθ和r=a的相交曲线是一个椭圆

题目

在圆柱坐标系中,证明：平面z=sinθ和r=a的相交曲线是一个椭圆

答案

r=a为半径是a的圆柱面,
化成直角坐标,
r^2=x^2+y^2,
x^2+y^2=a^2,（1）
z^2=(sinθ)^2,
1-z^2=1-(sinθ)^2=(cosθ)^2,
1/(1-z^2)=(secθ)^2,
1/(1-z^2)-1=z^2/(1-z^2)=(tanθ)^2,
z^2/(1-z^2)=y^2/x^2,
1/(1-z^2)=(x^2+y^2)/x^2,(合比）,
由（1）式代入,
1/(1-z^2)=a^2/x^2,
x^2=a^2(1-z^2),
x^2/a^2+z^2=1,
相交曲线是由圆柱面x^2+y^2=a^2和椭圆柱面x^2/a^2+z^2=1相交而得,
θ=0,z=0时,x=a,y=0,在X轴上,
θ=π/2,z=1时,x=0,y=a,在Z轴上方,
θ=π,z=0时,x=-a,y=0,在X轴上
θ=3π/2,z=-1时,x=0,y=-a,在Z轴下方,
曲线所在平面和XOY平面成角为arctan(1/a),椭圆长半轴为√（1+a^2),短半轴为a.