大一微积分（二阶线性微分方程）

题目

大一微积分（二阶线性微分方程）
设 α,β,γ为常数,y＝e^2x＋（1＋x）e^x是微分方程y''＋ αy'＋βy＝γe^x的一个特解,求 α,β,γ.

答案

将特解代入方程
y''=4e^2x+(x+3)e^x
y'=2e^2x+(x+2)e^x
y=e^2x+(x+1)e^x
y''＋ αy'＋βy=(4+2α+β)e^2x+(x+3)e^x+α(x+2)e^x+β(x+1)e^x=γe^x
=(4+2α+β)e^2x+xe^x(1+α+β)+e^x(3+2α+β)
从而可以得到
4+2α+β=0
1+α+β=0
γ=3+2α+β
从而γ=-1,α=-3,β=2