抛物线的

题目

抛物线的
已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴）,且AF+BF=8,线段AB的垂直平分线恒过定点（6,0）,求此抛物线方程.

答案

答：
① 焦点在x轴上,可设抛物线方程为：y² = 2px.可以判断焦点在(p/2,0)点.
② 设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2),设AB斜率是k,线段AB的垂直平分线斜率是k'
则：kk' = -1,所以：
(y1-y2)/(x1-x2) * [(y1+y2)/2 - 0 ]/[(x1+x2)/2 - 6] = -1
(y1² - y2²) / [x1² - x2² -12(x1 - x2)] = -1
代入y1²=2px1,y2²=2px2,化简：
2p/(x1 + x2 - 12) = -1    
x1 + x2 = 12 - 2p    ---<1> 
③
AF&sup2;=(x1 - p/2)&sup2; + y1&sup2; = (x1 - p/2)&sup2; + 2px1 = (x1 + p/2)&sup2;
AF = x1 + p/2
同理：
BF = x2 + p/2
AF + BF = x1 + x2 + p ---<2>
<1>link<2>:
12 - 2p + p = 8
p=4
 
综上：
抛物线方程：
y&sup2; = 8x
--完--