利用函数图形的凹凸性,证明不等式成立.

题目

利用函数图形的凹凸性,证明不等式成立.
 

 

 

答案

令f(x)=x^n,
则f'(x)=n·x^(n-1)
f''(x)=n(n-1)·x^(n-2)
从而,当x>0,n>1时,有f''(x)>0
于是f(x)在(0,+∞)上是下凸的,
所以对于x>0,y>0,x≠y,
有 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
即 (x^n+y^n)/2 >[(x+y)/2]^n.