设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B,求AB^-1

题目

设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B,求AB^-1

答案

这是线性代数一个重要定理 1.A是n阶可逆矩阵,则A的行列式不等于零,A的第i行和第j行对换后得到矩阵B,矩阵B与矩阵A的行列式仅差一个符号,故矩阵B的行列式也不等于零,故矩阵B也可逆.2.矩阵B是由A的第i行和第j行对换得到,故 B=I(i,j)A,其中I(i,j)是将单位阵I交换第i,j两行得的交换阵,B^-1=A^-1*I(i,j)^-1=A^-1*I(i,j)(I(i,j)的逆是其自身) AB^-1=AA-1*I(i,j)=I(i,j) 故AB^-1=I(i,j),即AB^-1等于单位阵I交换第i,j两行得的交换阵.