在△ABC中,a,b,c分别为其内角A,B,C所对的边,且2acosC=2b-c

题目

在△ABC中,a,b,c分别为其内角A,B,C所对的边,且2acosC=2b-c
若a=1,求b+c的取值范围

答案

答：
三角形ABC中,2acosC=2b-c
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则有：
2sinAcosC=2sinB-sinC
=2sin(A+C)-sinC
=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC
所以：
2cosAsinC=sinC>0
所以：cosA=1/2
解得：A=60°,B+C=120°
因为：a=1
则2R=b/sinB=c/sinC=a/sinA=1/sin60°=2/√3
所以：
b+c=(2√3/3)(sinB+sinC)
=(2√3/3)*2sin[(B+C)/2]*cos[(B-C)/2]
=(4√3/3)*sin60°*cos[(B-C)/2]
=2cos[(B-C)/2]
当B-C=0时,b+c=2
当B趋于120°,C趋于0°时,b+c趋于1
所以：b+c的取值范围是（1,2]