如图所示.矩形ABCD中,CE垂直BD于点E,AF平分角BAD交EC延长线于F,求证：CA=CF.

题目

如图所示.矩形ABCD中,CE垂直BD于点E,AF平分角BAD交EC延长线于F,求证：CA=CF.
 

答案

证明：

∵四边形为矩形
∴AB=CD,∠BAD=∠ABC=∠DCB=∠ADC=90°
又∵BC=CB
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴∠2=∠3
∵CE⊥BD
∴∠1+∠4=90°
∵∠2+∠4=90°
∴∠1=∠2=∠3
∵∠HCF=∠1（对顶角相等）
∴∠HCF=∠3
∵AF平分∠BAD,即∠DAH=45°
    AD//BC
∴∠CGH=∠DAH=45°
∵∠HCG=90°
∴△HCG是等腰直角三角形
∴CH=CG,∠CHG=∠CGH=45°
∴∠CHF=∠CGA=135º（等角的补角相等）
∴△CHF≌△CGA（ASA）
∴AC=CF