已知A,B,C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα)

题目

已知A,B,C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα)
(1)若α∈(-π,0),且|向量AC|=|向量BC|,求角α大小;
(2)若向量AC⊥向量BC,求(2sin^2 α+sin2α)/(1+tanα)

答案

向量AC=(3cosα-4,3sinα) 向量BC=(3cosα,3sinα-4)
(1)因为|向量AC|=|向量BC|
所以√[(3cosα-4）^2+(3sinα)^2]=√[(3cosα)^2+(3sinα-4)^2]
所以sinα=cosα
由α∈(-π,0)
所以α=π/4
(2)因为向量AC⊥向量BC
所以(3cosα-4)*3cosα+3sinα*(3sinα-4)=0
所以sinα+cosα=3/4
所以(2sin^2 α+sin2α)/(1+tanα)
=(2sin^2 α+2sinαcosα)/(1+sinα/cosα)
=2sinα(sinα+cosα)cosα/(sinα+cosα)
=2sinαcosα
=(sinα+cosα)^2-1
=9/16-1
=-7/16