若函数y=f(x) (x∈D,y∈A) 存在反函数 y=f^-1(x) (x∈A),则方程f(x)=f^-1(x)是否有根?根有什么规律

题目

若函数y=f(x) (x∈D,y∈A) 存在反函数 y=f^-1(x) (x∈A),则方程f(x)=f^-1(x)是否有根?根有什么规律

答案

一个函数如果有反函数,那么原函数一定和它的反函数关于y=x对称,
因此如果f(x)=f^-1(x)这个方程有根,那也一定在y=x直线上,
所以这个方程是否有根等价于y=f(x)是否和y=x有交点,即x=f(x)是否有根,
如果x=f(x)有根,则f(x)=f^-1(x)这个方程有根
反之,则没有