一道高二立体几何数学题

题目

一道高二立体几何数学题
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B垂直于AC1,求证：A1B垂直于B1C

答案

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B垂直于AC1,求证：A1B⊥B1C
证明：取A1B1的中点M,取AB的中点N,连接C1M、AM、B1N、CN
因为：B1C1=A1C1 直三棱柱ABC-A1B1C1 故：BC＝AC
故：C1M⊥A1B1 CN⊥AB 故：C1M⊥平面A1ABB1 故：C1M⊥A1B
因为：A1B⊥AC1 故：A1B⊥平面AMC1
不难证明平面AMC1‖平面CB1N （C1M‖CN AM‖B1N 平面几何）
故：A1B⊥平面CB1N
故：A1B⊥B1C