已知函数f(x)=x^3-x,设a>0,若果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a

题目

已知函数f(x)=x^3-x,设a>0,若果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a

答案

假设切点为（m,m³-m）,那么可得到方程（m³-m-b）÷（m-a）= 3m² - 1.
上诉方程可化简为 2m³-3am²+a+b = 0,因为要保证这个方程有3个不同的解才能保证有3条切线,每个解都是切点的横坐标,令 g(x) = 2x³-3ax²+a+b,那么我们的目标就是保证这个三次曲线有3个不同的零点.dg(x)/dx = 6x²-6ax = 0可求出这条三次曲线的两个极值点 x1 = 0,x2 = a,易知这两个是不相等的,因为a＞0,所以要保证这个三次曲线有3个不同零点的话必然得满足
g(0)＞0,g(a)＜0,于是我们可以得到 a+b＞0,a³-a＞b,所以上述不等式得证.