已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：1/a，1/b，1/c不可能是等差数列．

题目

已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：

1

a

，

1

b

，

1

c

答案

证明（反证法）：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
则

1

b

−

1

a

＝

1

c

−

1

b

，即

a−b

ab

＝

b−c

cb

两边乘以b，得

a−b

a

＝

b−c

c

又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，
∴a-b=b-c≠0．由以上两式，可知

1

a

＝

1

c

．．
两边都乘以ac，得a=c．
这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，
所以数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列