用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

题目

用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

答案

设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，
∴扇形的周长是l+2r=30；
∴l=30-2r，
∴S=

1

2

•l•r=

1

2

（30-2r）•r=-r²+15r=-(r−

15

2

)2+

225

4

；
∴当半径r=

15

2

cm时，
l=30-2×

15

2

=15cm，
∴扇形面积的最大值是

225

4

cm²，
这时α=

l

r

=2rad．