以知数列{an}中,A1=3/5,AnAn-1+1=2An-1(n大于等于2）

题目

以知数列{an}中,A1=3/5,AnAn-1+1=2An-1(n大于等于2）
数列{bn}满足bn=1/An-1,求证{bn}是等差数列.求{An}的通项公式

答案

∵数列{an}中,a[n]a[n-1]+1=2a[n-1](n≥2)
∴a[n]=2-1/a[n-1]
采用不动点法,令：x=2-1/x,即：(x-1)^2=0,解得：x=1
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点1】
a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
∵a[1]=3/5
∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=-5/2,公差为1的等差数列
即：1/(a[n]-1)=-5/2+(n-1)=(2n-7)/2
∴a[n]=2/(2n-7)+1=(2n-5)/(2n-7)