设f(x1...xn)为n元实二次型,若对任意非0x都有f不等0,证f要么正定,要么负定

题目

设f(x1...xn)为n元实二次型,若对任意非0x都有f不等0,证f要么正定,要么负定

答案

设f的标准形为 f = a1x1^2+...+anxn^2若a1=0, 则 f(1,0,0,...,0)=0, 与已知矛盾所以 a1,...,an 都不等于0.若a10, 则 f ( √(-a2/a1) , 1,0,0,...,0) = 0, 与已知矛盾所以 a1,...,an 要么都大于0, 要么都小于0故 f ...