设f(x)在【0,2】上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且lim(X趋近1/2)=0,2∫1,1/2f（x）d（x）

题目

设f(x)在【0,2】上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且lim(X趋近1/2)=0,2∫1,1/2f（x）d（x）
=f（2）,试证,在（0,2）内至少存在一点δ,使得f（δ）=0

答案

2 ∫ [1/2,1] f(x) dx = f(2),利用积分中值定理,存在 η ∈ (1/2,1) ,使得：2 * (1/2) f(η) = f(2),即 f(η) = f(2),在 【η,2】上,对 f(x) 应用Rolle中值定理,即得：存在 ξ1 ∈ (η,2),使得：f '(ξ1) = 0 lim(x-...