已知等比数列{an}的各项均为正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中最大项为54,求此数列的公比q和项数n

题目

已知等比数列{an}的各项均为正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中最大项为54,求此数列的公比q和项数n

答案

设公比为q,数列各项均为正,q>0
若q=1则S(2n)/Sn=(2na1)/(na1)=2≠6560/80,与已知不符,因此q≠1
S(2n)/Sn=6560/80
[a1(q^(2n)-1)/(q-1)]/[a1(qⁿ-1)/(q-1)]=82
(qⁿ+1)(qⁿ-1)/(qⁿ-1)=82
qⁿ+1=82
qⁿ=81
81>1,又q>0,因此q>1,数列为递增数列,前n项中最大项为第n项.
an=a1·q^(n-1)=(a1/q)·qⁿ=81(a1/q)=54
a1/q=54/81=2/3
a1=(2/3)q
Sn=a1(qⁿ-1)/(q-1)=[(2/3)q](81-1)/(q-1)=160q/[3(q-1)]=80
解得q=3 a1=(2/3)q=2
3ⁿ=81=3⁴
n=4
公比q的值为3,项数n为4.