如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,CE⊥BF于点O.求证 1 四边形EBCF是等腰梯形 2 EF²+BC²=2BE² （图自己画）

题目

如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,CE⊥BF于点O.求证 1 四边形EBCF是等腰梯形 2 EF²+BC²=2BE² （图自己画）

答案

证明：1
∵AB=AC,且点E、F分别是AB、AC的中点
∴BE=1/2AB=1/2AC=CF
∴EF‖BC
则四边形EBCF为等腰梯形
2
∵CE⊥BF于点O
∴△EOF为直角三角形
又∵四边形EBCF为等腰梯形
∴EO=FO
根据勾股定理
EF^2=EO^2+FO^2=2EO^2
同样在直角三角形EOB中
BE^2=BO^2+EO^2
在直角三角形BOC中
BC^2=CO^2+BO^2=2BO^2
所以EF^2+BC^2=2EO^2+2BO^2
=2(EO^2+BO^2)
=2BE^2