在椭圆x^2/16 +y^2/4=1中,经过点(2,1)且被此点平分的弦所在的直线方程是?

在椭圆x^2/16 +y^2/4=1中,经过点(2,1)且被此点平分的弦所在的直线方程是?

题目
在椭圆x^2/16 +y^2/4=1中,经过点(2,1)且被此点平分的弦所在的直线方程是?
答案
利用点斜式法:
设弦所在直线的方程y=k(x-2)+1,显然k 存在且不等于0,将椭圆X^2/16+Y^2/4=1与直线方程联立,消去y得到
二次方程:x^2+4[kx+(1-2k)]^2=16
化简得:(1+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+4(1-2k)^2-16=0
由于p(2,1)是椭圆内部的点,所以直线一定与椭圆有两个交点,方程的判别式一定大于0.
利用方程的根与系数的关系有:x1+x2=-8k(1-2k)/(1+4k^2)
由弦被p点平分,则x1+x2=4
-8k(1-2k)/(1+4k^2)= 4
解得:k=-1/2
所求方程为:
y=-1/2(x-2)+1
化简为:
x+2y-4=0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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