设对所有的实数x,不等式x^4＋6x^2＋a＞4x^3＋8x恒成立,试确定实数a的取值范围、 用导数做、

题目

设对所有的实数x,不等式x^4＋6x^2＋a＞4x^3＋8x恒成立,试确定实数a的取值范围、 用导数做、
用导数怎么解

答案

x^4+6x^2+a>4x^3+8x
＝〉x^4-4x³+6x²-8x>-a
＝〉x^4-2x³-2x³+4x²+2x²-4x-4x+8>8-a
＝〉x³(x-2)-2x²(x-2)+2x(x-2)-4(x-2)>8-a
＝〉(x³-2x²+2x-4)(x-2)>8-a
＝〉[x²(x-2)+2(x-2)](x-2)>8-a
＝〉(x²+2)(x-2)²>8-a
∵x²+2≥2,(x-2)²≥0
∴(x²+2)(x-2)²的最小值为0,
∴要使原不等式恒成立,必须符合8-a比(x²+2)(x-2)²的最小值还小,即8-a8