在△ABC中,a、b、c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0有等根,求证：△ABC为直角三角形.

题目

在△ABC中,a、b、c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0有等根,求证：△ABC为直角三角形.

答案

证明：
a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0
a-ax²+c+cx²+2bx=0
（c-a）x²+2bx+a+c=0
方程有等根,说明根的判别式等于0
即△=（2b）² - 4*（c-a）*（a+c）
=4b² - 4*（c² - a²）
=4b² - 4c² + 4a²
=0
所以 b² - c² + a² = 0
即 b² + a² = c²
所以：△ABC为直角三角形.