设W,U是V的线性变换T的不变子空间,证明：W交U,W+U也是T的不变子空间

题目

设W,U是V的线性变换T的不变子空间,证明：W交U,W+U也是T的不变子空间

答案

用定义证明
(1) 对任意a,b属于 W∩U
有a,b属于 W,a,b属于 U
而W,U是V的线性变换T的不变子空间
所以 T(k1a+k2b) = k1T(a)+k2T(b) 属于 W,也属于 U
所以 T(k1a+k2b)属于 W∩U
所以 W∩U 也是T的不变子空间.
(2) W+U 中的元素都可表示为 a+b 形式,其中a属于W,b属于U.
对W+U中任意两个元素 a1+b1,a2+b2 有
T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1))
= k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1)
= k1(T(a1)+T(b1))+k2(T(a2)+T(b1))
= k1T(a1)+k2T(a2) + k1T(b1)+k2T(b2)
属于 W+U
所以 W+U也是T的不变子空间.