直角三角形两直角边和是m求斜边上高的最大值

题目

直角三角形两直角边和是m求斜边上高的最大值

答案

设一个a一个b
a+b=m
斜边上高设为h,斜边c
那么ab=hc
也就是求一个ab/(根号a^2+b^2)的最大值
因为a+b=m为定值,所以ab有最大值,在a=b时取到.
a^2+b^2=（a+b)^2-2ab,在a=b时有最小值,所以a=b时正好是分子最大分母最小取得最大值,
所以h=m(根号2)/4
这是做大题的写法.如果是个填空选择,你可以这样想
既然两个直角边在题目里地位一样,完全没有区别,也就是说如果不是一样的时候取到最大值,那么就是极限的时候取到.也就是说如果不是a=b那么就是a=0或者b=0,分别算一下就知道了,肯定是a=b的时候最大,画个等腰直角三角形就直接解出来了.上面不等式如果不会,可以把a写成m-b,对h表达式求导（当然会比较麻烦,但是绝对能做出来……是一个最后的方法,通用但是没效率）.
最后感叹一下,数学高考不让从哲学上想问题,真是可惜,有兴趣可以研究一下对称式的最值什么的,你会发现一定是极限或者相等的