已知实数a、b、c,满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,a^2+c^2=2,求ab+ac+bc的最小值

题目

已知实数a、b、c,满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,a^2+c^2=2,求ab+ac+bc的最小值
已知实数a、b、c,满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,求ab+bc+ca的最小值.

答案

已知：a²+b²=1,b²+c²=2,a²+c²=2.
求：ab+ac+bc的最小值.
首先,根据已知条件,解出a、b、c的值.
根据已知,
a²+b²=1 ①
b²+c²=2 ②
a²+c²=2 ③
③-①,得
b²=1/2,即b=±1/√2.（√表示根号）
将b²的值代入①中,得
a²=1/2,即a=±1/√2.
将a²的值代入②中,得,
c²=3/2,即c=±√3/√2.
a、b、c各有两个值.因为要求ab+ac+bc的最小值,就是必须使每项乘积得到负数.根据“正正得正,负负得正,正负得负”的原理,每项乘积中,两个值必须取相反符号.于是得到
ab+ac+bc
=1/2-√3/2-√3/2
=1/2-√3
(取a=b=1/√2,c=-√3/√2或a=b=-1/√2,c=√3/√2)