已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x23-y2=1共焦点,点A(3,7)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)已知点Q(0,2),P为椭圆C上的动点,点M满足:QM=MP,
题目
已知椭圆
C:+=1(a>b>0)与双曲线
-y2=1共焦点,点
A(3,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点Q(0,2),P为椭圆C上的动点,点M满足:
=,求动点M的轨迹方程.
答案
(1)由已知得双曲线焦点坐标为F
1(-2,0),F
2(2,0),
由椭圆的定义得|AF
1|+|AF
2|=2a,∴
+=2a,∴
a=3而c
2=4,∴b
2=a
2-c
2=18-4=14
∴所求椭圆方程为
+=1(2)设M(x,y),P(x
0,y
0),由
=得(x,y-2)=(x
0-x,y
0-y)
∴
而P(x
0,y
0)在椭圆
+=1上
即
+=1即
+=1为所求M的轨迹方程.
(1)根据椭圆与双曲线公焦点,可知椭圆的焦点坐标,利用点
A(3,)在椭圆C上,根据椭圆的定义,我们可以求出a的值,根据焦点坐标,利用b
2=a
2-c
2,可以求出b
2,从而可求椭圆C的方程;
(2)利用点M满足:
=,可得动点M与动点P之间的坐标关系,利用点P满足椭圆方程,我们可以求出动点M的轨迹方程.
椭圆的标准方程;轨迹方程.
本题的考点是椭圆的标准方程,考查待定系数法求椭圆的标准方程,考查代入法求轨迹方程,解题的关键是利用向量关系,寻求动点之间的坐标关系.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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