求证：当x>1时,lnx/x+1+1/x>lnx/x-1

题目

求证：当x>1时,lnx/x+1+1/x>lnx/x-1

答案

∵x＞1,∴lnx＞0、x－1＞0.
∴要证明：lnx/（x＋1）＋1/x＞lnx/（x－1）,只需要证明：
（x－1）lnx＋（x^2－1）/x＞（x＋1）lnx,只需要证明：
xlnx－lnx＋（x^2－1）/x＞xlnx＋lnx,只需要证明：（x^2－1）/x＞2lnx,只需要证明：
x^2－1＞2xlnx,只需要证明：x^2－2xlnx－1＞0.
令y＝x^2－2xlnx－1.
求导数,得：y′＝2x－2lnx－2＝2（x－lnx－1）.
再令z＝x－lnx－1.
求导数,得：z′＝1－1/x、　z″＝1/x^2＞0,∴当z′＝0时,即x＝1时,z有极小值为0.
∵x＞1,∴1＞1/x,z′＝1－1/x＞0.
∴当x＞1时,z＝x－lnx－1是增函数,而当x＝1时,z的极小值为0,∴当x＞1时,z＞0.
由z＝x－lnx－1＞0,得：2（x－lnx－1）＞0,∴当x＞1时,y′＝2（x－lnx－1）＞0.
∴当x＞1时,y＝x^2－2xlnx－1是增函数.
显然,当x＝1时,y＝1－0－1＝0,∴当x＞1时,y＝x^2－2xlnx－1＞0.
∴当x＞1时,lnx/（x＋1）＋1/x＞lnx/（x－1）.