已知△ABC内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，面积S=3，且AB•AC=2． （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若c=1+b，求a的值．

题目

已知△ABC内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，面积S=

3

，且

AB

•

AC

=2．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若c=1+b，求a的值．

答案

（Ⅰ）由S＝

3

且

AB

•

AC

＝2，得

1 2 bcsinA＝ 3 bccosA＝2

，
故有 tanA＝

3

，所以A=60°．
（Ⅱ）由bccos60°=2，可得bc=4，由c=1+b，可得c-b=1．
由余弦定理可知，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（c-b）²+bc=1+4=5，
∴a＝

5

．

（Ⅰ）由S＝

3

且

AB

•

AC

＝2，可得

1 2 bcsinA＝ 3 bccosA＝2

，求得tanA的值，可得A的值．
（Ⅱ）由条件求得bc=4，c-b=1，再由余弦定理求得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（c-b）²+bc的值，可得a的值．

本题考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义、正弦定理的应用，属于中档题．