证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域

证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域

题目
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
答案
反证法:设R不为域
那么存在a∈R,a不等于0,且a不可逆,于是aR不等于R
因为若aR=R,那么存在b∈R,使得ab=1,而且交换环可知ba=1,与a不可逆矛盾
所以aR不等于R
显然aR不等于0
那么aR是R的非平凡理想
因为用定义看,任意的r∈R,raR=arR包含于aR
所以aR是理想,且非平凡
那么这与R是单环矛盾
故R一定是域
这是充分必要条件,即
若有单位元的非零交换环R,R为单环与R为域等价
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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