X1·X2·X3···X2010=1,且X1,X2,···X2010都是正数.(1+X1)(1+X2)····(1+X2010)的最小值
题目
X1·X2·X3···X2010=1,且X1,X2,···X2010都是正数.(1+X1)(1+X2)····(1+X2010)的最小值
答案
考虑函数 f(x) = ln(1+e^x),容易验证,f'> 0,即 f是凸函数.
取 yi = lnxi,因为 f是凸函数.
ln((1+X1)(1+X2)····(1+X2010))
=f(y1) + f(y2)+ ...+f(y2010)
>= 2010*f((y1+y2+...+y2010)/2010)
=2010*f(ln(x1*x2*...*x2010)/2010)=2010*f(0)=ln(2^2010)
==>
(1+X1)(1+X2)····(1+X2010)>= 2^2010
等号在 x1=x2=...=x2010=1时成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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