在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c.,且bcosC-ccos(A+C)=3acosB,求cosB

题目

在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c.,且bcosC-ccos(A+C)=3acosB,求cosB
在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c.,且bcosC-ccos(A+C)=3acosB,（1）求cosB的值（2）若向量BA*向量BC=2,且a=根号6,求b的值

答案

bcosC-ccos(A+C)=3acosB
bcosC=3acosB-ccosB
sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB
3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,而sinA≠0
故cosB=1/3
向量BC*向量BA=accosB=ac/3=2,故ac=6
a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-2ac-2accosB=(a+c)^2-16=b²
a+c=2√6
故a,c是方程x^2-2√6x+6=0的两根,
故a=c=√6
b=2√2