已知A,B为n阶方阵,B的特征值不是1与-1,且 AB-A-B=E,则A的逆矩阵是?

题目

已知A,B为n阶方阵,B的特征值不是1与-1,且 AB-A-B=E,则A的逆矩阵是?

答案

由 AB-A-B=E
得 A(B-E)=(B+E)
因为 B的特征值不是1与-1
所以 B-E,B+E 都可逆
所以 A=(B-E)^-1(B+E)
所以 A^-1 = [(B-E)^-1(B+E)]^-1 = (B+E)^-1(B-E)