概率论 P(B|A)+P(非B|非A)=1 求证A B 相互独立

题目

概率论 P(B|A)+P(非B|非A)=1 求证A B 相互独立
P(A),P(B)均大于0小于1,P(B|A)+P(非B|非A)=1 求证A B 相互独立

答案

P(B|A)+P(非B|非A)
=P(AB)/P(A)+ P(非A非B)/P(非A)
=P(AB)/P(A)+ [1-P(A∪B]/[1-P(A)])
=P(AB)/P(A)+ [1-P(A)-P(B)-P(AB)]/[1-P(A)]
={P(AB)[1-P(A)]+P(A)[1-P(A)-P(B)+P(AB)]}/P(A)[1-P(A)]
=[P(AB)-P(A)P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)+P(A)P(AB)]/P(A)[1-P(A)]
=[P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)]/P(A)[1-P(A)]=1
所以P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)=P(A)[1-P(A)]=P(A)-P(A)^2,化简得P(AB)=P(A).P(B),故A和B相互独立.把我的答案在本子上写一遍会好些,这样有点乱.