如图,线段AC、BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E、F关于点O中心对称.求证:BF=DE.

如图,线段AC、BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E、F关于点O中心对称.求证:BF=DE.

题目
如图,线段AC、BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E、F关于点O中心对称.求证:BF=DE.
答案
证明:如图,连接AD、BC,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,
∵点E、F关于点O中心对称,
∴OF=OE,
在△BOF和△DOE中,
BO=DO
∠BOF=∠DOE(对顶角相等)
OF=OE

∴△BOF≌△DOE(SAS),
∴BF=DE.
连接AD、BC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形,再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO,根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF,然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.

中心对称;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.

本题考查了中心对称的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,作辅助线构造出平行四边形,然后证明得到BO=DO是证明三角形全等的关键,也是解决本题的难点.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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