求∫∫∫[1/(x^2+y^2+1)]dxdydz,其中D由锥面x^2+y^2=z^2及平面z=1所围成的闭区域.
题目
求∫∫∫[1/(x^2+y^2+1)]dxdydz,其中D由锥面x^2+y^2=z^2及平面z=1所围成的闭区域.
答案
柱坐标,z的变化范围是√(x²+y²)1] rz/(r²+1) |[r---->1] dr
=2π∫[0--->1] r(1-r)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] (r-r²)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] (r-r²-1+1)/(r²+1) dr
=2π∫[0--->1] r/(r²+1) dr-2π∫[0--->1] 1 dr+2π∫[0--->1] 1/(r²+1) dr
=π∫[0--->1] 1/(r²+1) d(r²)-2π+2πarctanr
=πln(r²+1)-2π+2πarctanr |[0--->1]
=πln2-2π+π²/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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