将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°，至正方形AB′C′D′，则旋转前后两个正方形重叠部分的面积为 _ ．

题目

将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°，至正方形AB′C′D′，则旋转前后两个正方形重叠部分的面积为 ___ ．

答案

连接AM，设DM=x，
则∠MAD=15°，AM=

x

sin15°

，
有x²+1=（

x

sin15°

）²，
解得x=2-

3

，
所以重叠部分的面积S_ADMB′=2-

3

，
故答案为2-

3

．

连接AM，设DM=x，可得∠MAD=15°，由三角函数的定义可得AM=

x

sin15°

，根据勾股定理构造方程
为x²+1=（

x

sin15°

）²，解可得DM即x的值，进一步计算可得重叠部分的面积．

本题考点：旋转的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．