求证,对一切x∈(0,正无穷),都有lnx>1/e^x-2/ex

题目

求证,对一切x∈(0,正无穷),都有lnx>1/e^x-2/ex

答案

即是证明 lnx+2/(ex)>1/(e^x)恒成立
令f(x)= lnx+2/(ex),y(x)=1/(e^x) (0,+∞)
y(x)'=-1/(e^x)
对f(x)求导,并令f(x)'≥0：
f(x)'=1/x -2/(ex^2)=(ex-2)/(ex^2)≥0
解得：
增区间为：[2/e,+∞)
减区间为：(0,2/e]
故：f(x)min=f(2/e)=ln2
y(2/e)=1/[e^(2/e)]≈0.479y(a)
又因为在该区间上,limx~0[f(x)]=+∞>limx~0[y(x)]=1
故可得到在x~[2/e,+∞)上,也有：
f(x)= lnx+2/(ex)>y(x)=1/(e^x)
因此综上可得：
在x~(0,+∞)上,恒有lnx+2/(ex)>1/(e^x),即是恒有lnx>1/(e^x)-2/ex
原式得证